\(\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}}\)
由于计算机只能处理离散时间信号，如果要处理连续时间信号，需要先进行连续到离散的转换（coutinuous-to-discrete time conversion, C/D转换），然后经过离散系统处理后，再用离散到连续时间转换（discrete-continuous time conversion, D/C转换），得到连续时间信号。
C/D转换又称为模数转换（A/D），D/C转换又称为数模转换（D/A）
下面我们为了区分各个信号，用下列角标：
$x_c(t)$ 表示输入的连续信号
$x_d[n]$ 表示连续信号经过 C/D 转换得到的离散信号
$y_d[n]$ 表示输出的离散信号
$y_c(t)$ 表示离散信号经过 D/C 转换得到的连续信号
C/D转换
我们可以用以下公式表示采样：
\[x_p(t)=x_c(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)\delta(t-nT)\]
在这里强调一点，就是经过采样的信号依然不是离散信号。首先，冲激信号本身就不是离散信号，两个连续信号相乘不能的到离散信号。其次，得到的样本序列的时间轴也不一定是整数的。因此，我们构建一个离散序列 $x_d[n]$，令它满足：
\[x_d[n]=x_p(nT)=x_c(nT)\]
对 $x_p(t)$ 和 $x_d[n]$ 进行傅里叶变换：
\[\begin{align}
X_p(j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x_p(t) e^{-j\omega t}\dif t\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)\delta(t-nT) e^{-j\omega t} \right]\dif t\\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) e^{-j\omega t} \dif t\\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)e^{-j\omega nT}
\end{align}\]
\[\begin{align}
X_d(e^{j\Omega}) &= \sum_{-\infty}^{+\infty} x_d[n] e^{- j\Omega n}\\
&= \sum_{-\infty}^{+\infty} x_c(nT) e^{- j\Omega n}
\end{align}\]
上面我们用 $\omega$ 和 $\Omega$ 来区分两个频谱。比较两个傅里叶变换，有：
\[X_d(e^{j\Omega})=X_p(j\Omega/T) \rightarrow \omega=\frac{\Omega}{T}\\
逆过程 X_p(j\omega)=X_d(e^{j\omega T}) \rightarrow \Omega=\omega T\]
或者也可以用频域卷积性质来求，同样也能得到 $\omega$ 和 $\Omega$ 的关系：
\[X_p(j\omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c(j(\omega-k\omega_s)), \omega_s=2\pi/T\\
X_d(e^{j\Omega})=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c(j(\Omega-2\pi k)/T)\]
这个有点类似于傅里叶变换的尺度变换性质：时域上的拉伸 $x_p(nT)$ 对应于频域上的压缩 $X_p(j\Omega/T)$（但少了系数）。冲激采样的频谱是以 $2\pi/T$ 为周期的，而离散傅里叶变换是以 $2\pi$ 为周期的，所以冲激串到离散序列的转换本质上就是尺度变换（$\frac{2\pi}{T} \times T=2\pi$）。（如下图）
$x_p(t)$ 时间轴上原本是以 $T$ 为间隔的，经过这样的变换后，$x_d[n]$ 则是变为了以 $1$ 为间隔。我们将这种变换称为 归一化。
D/C转换
将上述步骤逆过来就是能将离散信号转化为连续信号：
\[\begin{cases}
x_p(nT)=x[n]\\
X_p(j\omega)=Y_d(e^{j\omega T})
\end{cases}\\
\Downarrow\\
低通滤波\\
\Downarrow\\
x(t)\]
利用离散系统处理连续信号
C/D转化 与 D/C转换互为逆过程，通过这个我们就能用离散系统处理连续信号，也就是说，上图虚线框中的系统相当于一个线性时不变系统。在这里提出一个问题：$x_c(t)p(t)$ 并不是一个时不变环节，为什么整个系统还能等效为一个线性时不变系统？
将离散系统 $H_d(e^{j\Omega})$ 转换为连续系统，先是进行尺度变换得到 $H_d(e^{j\omega T})$，然后再滤波得到：
\[H_c(j\omega)=
\begin{cases}
H_d(e^{j\omega T}) & |\omega|<\omega_s/2\\
0 & |\omega|>\omega_s/2
\end{cases}\]
下面用具体例子来讨论。
数字微分器
根据傅里叶变换的微分性质，我们知道微分器为：
\[H_c(j\omega)=j\omega\]
在这个基础上加上低通滤波就得到带限微分器（图像如下）：
\[H_c(j\omega)=
\begin{cases}
j\omega & |\omega|<\omega_c\\
0 & |\omega|>\omega_c
\end{cases}\]
利用 C/D 转换的关系，假如采样频率为 $\omega_s=2\omega_c$，则上面的连续时间频率响应转化为离散时间频率响应为：
\[H_d(e^{j\Omega})=j\left( \frac{\Omega}{T} \right), |\Omega|<\pi\]